Öncelikle MySQL Connector/ODBC 5.1 kurmalısın. (Google ile ara Mysql'in sitesinde mevcut, oradan indir.)
Sonra Adoconneciton nesnesinin connectionStirng özelliğini aşağıdaki gibi kendi bilgilerini girerek yapılandır.
aşağıdaki kodu ister formun oncreate olayına yaz istersen bir butonun altına yaz sana kalmış

AdoConnection1.Connected := False;
AdoConnection1.ConnectionString := 'Provider=MSDASQL.1;Persist Security Info=False;Extended Properties="DRIVER={MySQL ODBC 5.1 Driver};UID=KullanıcıAdın;DATABASE=Veritabanın;OPTION=3;SERVER=SunucuAdın;password=Şifren;"';
AdoConnection1.Connected := True;

Not: Programı çalıştırmak istediğin makinalara da ODBC driveri kurmalısın.

ODBC kullanmak istemezsen Zeos bileşenini kullanarak bağlanabilirsin. Site içerisinde arama yaparsan Zeos ile mysql bağlantısı hakkında bilgi bulabilirsin. Kolay gelsin